3-线性模型

3.1-基本形式

画出一条直线，来拟合数据点

3.1.1-基本形式

$$f(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_d{x}_d+b\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

其中 $x$ 为一共 $d$ 个属性的示例，$x_i$ 为 $x$ 的第 $i$ 个属性。$f(x)$ 为预测函数。$w$可以代表各属性在预测中的重要性

3.1.1-向量形式

$$f(x)=w^{T}x+b\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

3.2-线性回归

给定数据集 $D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots (x_d,y_d)\}$，其中 $x_i=(x_{i1};x_{i2};\dots ;x_{id})$，$y\in \mathbb{R}$

线性回归试图习得一个预测函数 $f(x_i)=w{x}_i+b$

使得

$$f(x_i)\simeq y_i\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

也就是偏差最小。

3.2.1-性能度量

至于如何确定 $w$ 和 $b$，

2.3 节介绍过，均方误差(2.2) 是回归任务中最常用的性能度量，因此我们可试图让均方误差最小化

$$\begin{array}{rl}\left(w^{\ast },b^{\ast }\right)& =\underset{(w,b)}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^m{\left(f\left(x_i\right)-y_i\right)}^2\\ & =\underset{(w,b)}{\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^m{\left(y_i-w{x}_i-b\right)}^2.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

最后用最小二乘法解得

$$w=\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i\left(x_i-\bar{x}\right)}{{\sum }_{i=1}^m{x}_i^2-\frac{1}{m}{\left({\sum }_{i=1}^m{x}_i\right)}^2}\text{\hspace{1em}(3.7)}$$ $$b=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(y_i-w{x}_i\right)\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

这个方法也叫作最小二乘估计。

3.2.2-多元线性回归

更一般的情形是如本节开头的数据集 $D$ ， 样本由 $d$ 个属性描述.此时我们 试图学得

$$f\left({\mathbf{x}}_i\right)={\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i+b\text{, 使得 }f\left({\mathbf{x}}_i\right)\simeq y_i$$

这称为“多元线性回归”

把数据集 $D$ 表示为一个 $m\times (d+1)$ 大小的矩阵 $X$

$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccccc}{x}_{11}& x_{12}& \dots & x_{1d}& 1\\ x_{21}& x_{22}& \dots & x_{2d}& 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ x_{m1}& x_{m2}& \dots & x_{md}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{x}}_1^{\mathrm{T}}& 1\\ {\mathbf{x}}_2^{\mathrm{T}}& 1\\ ⋮& ⋮\\ {\mathbf{x}}_m^{\mathrm{T}}& 1\end{array}\right)$$

$Y$ 写成：$y=(y_1;y_2;\dots ;y_m)$

那么：

$${\hat{\mathbf{w}}}^{\ast }=\arg \min (\mathbf{y}-\mathbf{X}\hat{\mathbf{w}}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{y}-\mathbf{X}\hat{\mathbf{w}})\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

求导得：

$$\frac{\partial E_{\hat{\mathbf{w}}}}{\partial \hat{\mathbf{w}}}=2{\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{X}\hat{\mathbf{w}}-\mathbf{y})\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

若$X$为正定矩阵或者满秩矩阵，可以直接解得

$${\hat{w}}^{\ast }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Y$$

反之能够解出很多个 $\hat{w}$

这个时候需要正则化处理

3.2.3-广义线性模型

在这里，我们不会逼近 $y$，反而逼近$y$的某个函数，如 $\ln y$ 或者 $y^2$

一般表示成：

$$y=g^{-1}(w^{T}x+b)$$

3.3-对数几率回归

假设现有一模型(其实叫单位阶跃函数)

$$y=\{\begin{array}{cc}0,& z<0\\ 0.5,& z=0\\ 1,& z>0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

这个函数既不连续也不可微¹,那么有没有一个连续可微的替代呢？

有，sigmod函数

其含义是越靠近中心点的概率越高，越远离中心点的概率越低，但是函数预测的确定性越高。

因此, “对数几率回归”(Logistic Regression)做的事情是对分类的可能性建模, 而不是去预测样本的y值²

以下面这张图为例，$x$ 越大，那么预测为蓝色的概率越高，反之越低

3.4-线性判别分析

线性判别分析：Linear Discriminant nalys ，简称 LDA

其思想是：最大化类间均值，最小化类内方差。意思就是将数据投影在低维度上，并且投影后同种类别数据的投影点尽可能的接近，不同类别数据的投影点的中心点尽可能的远³。

3.5-多分类学习

对于多个分类的问题，可以将多分类问题转化为多个二分类问题

• 一对一：OvO
• 一对多：OvR
• 多对多：MvM

MvM的正反类构造有特殊要求

3.5.1-ECOC

纠错输出码：Error Correcting Output Codes

• 编码:对 N 个类别做 M 次划分， 每次划分将一部分类别划为正类，一部分划为反类，从而形成一个二分类训练集;这样一共产生 M 个训练集，可训练出 M 个分类器.
• 解码:M 个分类器分别对测试样本进行预测，这些预测标记组成一个编码.将这个预测编码与每个类别各自的编码进行比较，返回其中距离最小的类别作为最终预测结果.

3.6-类别不平衡问题

假设正例有999个，但是反例只有一个，那么只需要将所有的例子都输出为正例行。但是我们其实更加看重那一个反例，而非另外的999个正例。

可以给回归的函数设置权重，原先不是 $\frac{y}{1-y}>1$ 就输出为正例吗？

现在时代变了，需要 $\frac{y}{1-y}>\frac{m^{+}}{m^{-}}$ 才能输出为正例，这里的 $m^{+-}$ 代表正例个和反例个数。这称为阔值移动

参考

Footnotes

1. 对数几率回归 —— Logistic Regression - 知乎 (zhihu.com) ↩

2. #8 究竟什么是”逻辑回归”, “对数几率回归” ↩

3. 线性判别分析LDA原理及推导过程（非常详细） - 知乎 (zhihu.com) ↩